ТОЧКА ПОКОЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТЬЮ ТИПА "ЦЕНТР"

П.О. Гаврилов
(Московский институт электроники и математики, Россия)

В работе исследуется проблема "центра-фокуса" систем на плоскости с полиномиальной правой частью, линейная часть которой имеет центр в начале координат. Этой задачей занимались Баутин, Сибирский, Фроммер, Шломюк, Жоладек и др. Заметный прорыв в данной области произошел за последнее время в связи с развитием компьютерных алгебр. Здесь в качестве такой алгебры используется пакет "Математика".

Из теории известно, что рассматриваемые системы могут иметь либо центр, либо фокус в начале координат. Этот факт и приводит к вопросу о различении центра и фокуса. Проблема "центра-фокуса" возникает при изучении реальных динамических систем, возникающих в механике, физике, химии, экономике. В механике, например, эта проблема возникает при исследовании характера движения тел по законам гравитации.

Задача о выделении центра, как известно, сводится к разрешению бесконечной цепочки уравнений, зацепляющихся друг с другом. Замечательный факт состоит в том, что разрешимость этой бесконечной цепочки эквивалентна разрешимости N первых уравнений цепочки, где N конечно. Число N зависит от степени полиномов в правой части системы. Нахождение этой зависимости - весьма интересная и трудная проблема. В работе используются результаты, полученные А.Д. Брюно. Число N резко растет с ростом степени полиномов в правой части системы, что является одной из основных трудностей.

Цель работы - создание и реализация алгоритма получения условий центра для полиномиальных систем 2-го, 3-го и 4-го порядков, запрограммированного на "Математике".

Стратегия выбора алгоритма базируется на следующем факте. Исходная задача о распознавании центра редуцируется к вопросу о занулении N первых нечетных ляпуновских величин. Это N и определяет то число уравнений, о котором говорилось раньше.

Метод решения задачи. Удобнее перейти от вещественных координат и времени к комплексным. Для построения ляпуновских величин применяется рекуррентный алгоритм, основанный на получении приближенных интегралов. Препятствием к существованию приближенного интеграла (п-И)-го порядка является ляпуновская величина п-го порядка. Чтобы обойти это препятствие, нужно ее занулить. Равенство нулю всех ляпуновских величин означает существование приближенного интеграла сколь угодно большого порядка, т.е. существование формального первого интеграла. Нетрудно понять, что все четные ляпуновские величины и так равны нулю, поэтому нужно занулять только нечетные, из которых, как отмечалось раньше, достаточно взять первые N.

При реализации этого алгоритма возникают следующие трудности. С ростом степени полиномов в правой части исходной системы резко возрастают число N и громоздкость ляпуновских величин, что затрудняет разрешение получаемой цепочки уравнений.

Однако для квадратичной и кубичной систем удалось получить необходимые и достаточные условия центра в начале координат, представляющие собой алгебраические соотношения на коэффициенты полиномов в правых частях систем. Ответ выписан в комплексных коэффициентах и приведена их связь с исходными вещественными коэффициентами. Эти результаты совпали с результатами, полученными Баутиным и Сибирским. При изучении статьи Шломюк, где исходная система рассматривается в другой форме, обнаружены и исправлены ошибки в выписанных там критериях центра как для квадратичной, так и для кубичной систем.

Для общих систем 3-й и 4-й степеней удалось получить только достаточные условия центра.

Во всех результатах первое условие является условием гамильтоновости, второе - условием обратимости. При выполнении условия обратимости фазовый портрет является симметричным относительно некоторой прямой, проходящей через начало координат.

Для квадратичной и кубичной систем гамильтоновых систем получается столько же, сколько обратимых, а систем, удовлетворяющих 3-му условию, меньше. Для общих систем 3-й и 4-й степеней гамильтоновых систем, оказывается, больше, чем обратимых.

В литературе условия обратимости для общих систем 3-й и 4-й степеней не были найдены. Эти результаты возможно являются новыми. Для иллюстрации всех полученных условий центра приводятся примеры фазовых портретов, полученные на "Математике" методом Рунге-Кутта.

Отметим в заключение, что в данной задаче ключевую роль играет проблема определения числа N - количества ляпуновских величин, которые нужно занулить. Нетрудно доказать, что это число конечно, однако показать, чему оно равно для конкретного класса систем, - задача нетривиальная. Системы с полиномами, содержащими слагаемые различных степеней однородности, очень не удобны для исследования. Число N в этом случае не превосходит числа параметров системы. Более хорошую оценку получить не удается. Если же полиномы правых частей содержат только слагаемые одной степени однородности, то можно получить более эффективную оценку числа N. Для этого используется степенная геометрия, разработанная А.Д. Брюно.